2026年9月10日，中国科学院院士、北京大学数学科学学院院长刘若川做客才斋讲堂，围绕数学家如何思考问题展开讲授，通过无穷集合、范畴、群与数系扩展等实例，阐释数学研究中发现结构、转换视角与推广概念的思维方式，带领同学们感受抽象数学的魅力。

　　讲座伊始，刘若川教授指出，数学不仅涉及计算与解题，也包含对结构的认识和对概念的探索。现代数学中的抽象概念虽然看似陌生，其背后却蕴含着自然的思考过程。他鼓励同学们以欣赏的心态接近数学，理解抽象概念背后的考量，体会数学之美。

　　刘若川教授首先以“无穷如何比较大小”为例，介绍通过重新表述已有概念来拓展认识的方法。在有限集合中，元素个数相同可以用两个集合之间存在一一对应来刻画；将这一表述推广到无限集合，便能够讨论无穷集合的大小。他通过正整数、正偶数与正有理数之间的一一对应，说明看似大小不同的无限集合可以具有相同的势，并指出正实数集合无法与正整数集合建立一一对应。他强调，抓住原有概念的本质，找到适用于更广泛情形的表达，是数学发展的重要思路。　　

　　刘若川教授主讲才斋讲堂第281讲

　　随后，刘若川教授从范畴论的视角介绍抽象数学如何组织知识。他以集合及其映射等为例，说明数学家如何从不同对象中提炼共同结构，通过对象之间的关系认识对象本身。他将这一过程与日常数数作类比：从苹果、梨等具体事物中抽象出数字，使人们能够用统一的运算处理不同情境中的数量问题；现代数学的抽象同样着眼于发现不同现象背后的共性。

　　在介绍“群”的概念时，刘若川教授从几何图形的旋转与对称出发，解释如何将具体操作提炼为具有一定运算规律的数学结构。他结合代数方程的求解问题，介绍伽罗瓦如何借助群的思想研究方程的可解性，展示从寻找求根公式到追问方程能否用根式求解的视角转变。他进一步将群与范畴联系起来，通过从群到群胚的推广，说明用更基础的语言重新理解已有对象，有助于发现新的研究方向。

讲座现场

　　

　　在谈及如何通过扩大研究范围化解困难时，刘若川教授以从实数到复数的扩展为例，说明在更大的数系中，原先没有根的多项式方程可以得到求解。他又结合费马大定理相关的数论探索，介绍数学家如何引入新的数系，尝试推广整数中的整除与因数分解方法。他指出，原有性质并不一定在推广后继续成立，而这些差异又会引出新的问题，推动更深层次的研究。

　　讲座最后，刘若川教授指出，数学研究中的抽象与类比，使一个领域中的思想能够迁移到另一个领域，建立看似不同的问题之间的联系。找到恰当的结构、选择合适的语言描述问题，是探索新知识的重要方式。他鼓励同学们保持好奇心，拓宽知识视野，在学习与交流中发现新的问题。

 

　

 

  撰稿：林凤仪

  摄影：于磊